A Note on the Boundedness of Doob Maximal Operators on a Filtered Measure Space
Let <i>M</i> be the Doob maximal operator on a filtered measure space and let <i>v</i> be an <inline-formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><semantics><msub><mi>A</mi><mi>p</mi...
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| Autores principales: | , |
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| Formato: | article |
| Lenguaje: | EN |
| Publicado: |
MDPI AG
2021
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| Materias: | |
| Acceso en línea: | https://doaj.org/article/0f1400cc7d4b42d583ed52d030becab4 |
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| Sumario: | Let <i>M</i> be the Doob maximal operator on a filtered measure space and let <i>v</i> be an <inline-formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><semantics><msub><mi>A</mi><mi>p</mi></msub></semantics></math></inline-formula> weight with <inline-formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><semantics><mrow><mn>1</mn><mo><</mo><mi>p</mi><mo><</mo><mo>+</mo><mo>∞</mo></mrow></semantics></math></inline-formula>. We try proving that <inline-formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><semantics><mrow><msub><mrow><mo>∥</mo><mi>M</mi><mi>f</mi><mo>∥</mo></mrow><mrow><msup><mi>L</mi><mi>p</mi></msup><mrow><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></msub><mo>≤</mo><msup><mi>p</mi><mo>′</mo></msup><msubsup><mrow><mo>[</mo><mi>v</mi><mo>]</mo></mrow><msub><mi>A</mi><mi>p</mi></msub><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>p</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></msubsup><msub><mrow><mo>∥</mo><mi>f</mi><mo>∥</mo></mrow><mrow><msup><mi>L</mi><mi>p</mi></msup><mrow><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></msub><mo>,</mo></mrow></semantics></math></inline-formula> where <inline-formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><semantics><mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mi>p</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>/</mo><msup><mi>p</mi><mo>′</mo></msup><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>.</mo></mrow></semantics></math></inline-formula> Although we do not find an approach which gives the constant <inline-formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><semantics><mrow><msup><mi>p</mi><mo>′</mo></msup><mo>,</mo></mrow></semantics></math></inline-formula> we obtain that <inline-formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><semantics><mrow><msub><mrow><mo>∥</mo><mi>M</mi><mi>f</mi><mo>∥</mo></mrow><mrow><msup><mi>L</mi><mi>p</mi></msup><mrow><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></msub><mo>≤</mo><msup><mi>p</mi><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>p</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></msup><msup><mi>p</mi><mo>′</mo></msup><msubsup><mrow><mo>[</mo><mi>v</mi><mo>]</mo></mrow><msub><mi>A</mi><mi>p</mi></msub><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>p</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></msubsup><msub><mrow><mo>∥</mo><mi>f</mi><mo>∥</mo></mrow><mrow><msup><mi>L</mi><mi>p</mi></msup><mrow><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></msub><mo>,</mo></mrow></semantics></math></inline-formula> with <inline-formula><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><semantics><mrow><munder><mo movablelimits="false" form="prefix">lim</mo><mrow><mi>p</mi><mo>→</mo><mo>+</mo><mo>∞</mo></mrow></munder><msup><mi>p</mi><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>p</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></msup><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>.</mo></mrow></semantics></math></inline-formula> |
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